چگونه ریاضیات Squishy دونات را در مغز آشکار می کند

کلسی هیوستون-ادواردز یک ریاضیدان و روزنامه نگار است. او قبلاً سریال Infinite نمایش آنلاین PBS را نوشت و میزبان آن بود. اعتبار: نیک هیگینز

B Enjamin Adric Dunn ، دانشمند داده در دانشگاه علوم و فناوری نروژ ، تصویری از نقاط ناهموار فاصله را به من نشان می دهد که به طور مبهم مانند صخره های استون هنج مرتب شده اند. الگوی کلی واضح است - حداقل ، برای یک انسان. او می گوید: "وقتی به این موضوع نگاه می کنیم ، بدیهی است که یک دایره است."اما یک الگوریتم احتمالاً برای تشخیص این شکل ساده تلاش می کند."این اغلب تصویر بزرگ را از دست می دهد."

بسیاری از فرایندهای علمی شامل حلقه ها یا تکرارها هستند. ناتوانی رایانه در دیدن این روابط برای دانشمندانی که می خواهند الگوهای دایره ای را در توده های عظیمی از نقاط داده شناسایی کنند ، مشکلی است. داده ها اغلب مانند نقاط شناور در فضا ، مانند ستاره های آسمان شب ، تجسم می شوند. یک نقطه ممکن است یک مکان فیزیکی باشد ، مانند دو عدد برای طول جغرافیایی و عرض جغرافیایی که در آن کشتی در دریاهای بلند قرار دارد. به همین ترتیب ژن ها می توانند در یک فضای ریاضی با ابعاد بسیاری - که گاه صد نفر هستند - ترسیم شوند ، به این ترتیب که دو ژن با توالی DNA مشابه توسط نقاط مجاور نمایش داده می شوند. اهمیت یک الگوی دایره ای در داده ها به متن بستگی دارد. محافل در موقعیت کشتی ممکن است نشان دهد که از بین رفته است ، در حالی که محافل در داده های ژنتیکی ممکن است یک رابطه تکاملی را نشان دهند.

غالباً این آسمان های ستاره ای از نقاط داده بسیار پیچیده و با ابعاد بالا برای مطالعه با چشم غیر مسلح هستند. برای تشخیص دایره ها ، محققان به مجموعه ای از دستورالعمل ها به اندازه کافی دقیق برای درک یک کامپیوتر نیاز دارند. اما بسیاری از تکنیک های استاندارد برای تجزیه و تحلیل داده ها بر اساس نوع ریاضیات شناخته شده به عنوان جبر خطی است که خطوط مستقیم و هواپیماهای مسطح را مطالعه می کند. برای شکار حلقه ها ، محققان در عوض به تجزیه و تحلیل داده های توپولوژیکی (TDA) روی می آورند ، که دیدگاه کاملاً متفاوتی را ارائه می دهد.

بر خلاف ساختارهای نسبتاً ساده و سفت و سخت که جبر خطی را توصیف می کنند ، TDA در توپولوژی پایه گذاری شده است ، شاخه ای از ریاضیات که به شکل های قابل تحمل و کشیده ای می پردازد. از آنجا که پزشکان آن فرض می کنند که همه شکل ها به طور خودسرانه انعطاف پذیر هستند ، توپولوژی اغلب هندسه ورق لاستیکی نامیده می شود.

مانند شکل گیری صورت های فلکی از ستاره ها، تجزیه و تحلیل داده های توپولوژیکی به ریاضیدانان کمک می کند تا اشکال آشکار را از نقاط پراکنده بسازند. محققان با استفاده از نقاط داده به عنوان گره ها یا اتصالات در داربست مجازی شروع می کنند و ساختارهای پیچیده ای را می سازند که ممکن است در صدها بعد گسترش یابد. تصویر به دست آمده حاوی بسیاری از ماهیت داده های اصلی است اما به شکل ملموس تر. آنها این ساختارها را با استفاده از یک چشم انداز توپولوژیکی مطالعه می کنند - به دنبال ویژگی هایی هستند که حتی اگر داربست کشیده یا خم شده باشد، حفظ می شوند.

سودمندی توپولوژی در تجزیه و تحلیل داده ها در توانایی آن برای آشکار کردن خصوصیات کیفی و نه کمی نهفته است. جنبه هایی از سازه را شناسایی می کند که حتی اگر خطاهای تصادفی یا نویز در اندازه گیری های اساسی وجود داشته باشد، باقی می مانند. نویز اغلب داده های زیرین را تکان می دهد، اما توپولوژی ثابت می ماند و ویژگی های قوی سیستم را آشکار می کند. رابرت گریست، ریاضیدان دانشگاه پنسیلوانیا، می‌گوید: «موردهای زیادی در دنیای واقعی وجود دارد که داده‌هایی که به شما داده می‌شود، خشن هستند. بنابراین شما باید از ریاضیات سخت استفاده کنید.

اکنون ریاضیدانان و دانشمندان با هم کار می کنند تا اشکال توپولوژیکی غیرمعمول را در گستره وسیعی از داده ها پیدا کنند که هر چیزی از فرآیندهای بیولوژیکی با ریتم روزانه گرفته تا ساختار مولکول های دارو را نشان می دهد. شاید جذاب ترین این تحقیقات مربوط به ساختار مغز باشد. ریاضیدانان از توپولوژی برای بررسی نحوه تعامل نورون ها در مناطق گسترده مغز و واکنش به محیط ها و محرک های مختلف استفاده کرده اند. دان اخیراً با همکاری دانشمندان علوم اعصاب دریافت که برخی از سلول‌های مغز از یک چنبره، نام ریاضی سطح یک دونات، برای ترسیم محیط اطراف خود استفاده می‌کنند.

دونات و فنجان قهوه

اگرچه توپولوژیست ها برای امرار معاش ورق های لاستیکی را به هم می ریزند، اما برای حفظ تعداد سوراخ های آن بسیار مراقب هستند. آنها هرگز سوراخ جدیدی را سوراخ نمی کنند یا سوراخ موجود را فشار نمی دهند. یک جوک ریاضی کلاسیک وجود دارد که توپولوژیست نمی تواند تفاوت بین دونات و فنجان قهوه را تشخیص دهد: هر دو یک سوراخ دارند.

توپولوژیست ها سوراخ ها را بر اساس ابعاد آنها طبقه بندی می کنند. یک حلقه بسته مانند عدد 0 دارای یک سوراخ یک بعدی است زیرا از چسباندن انتهای یک خط یک بعدی به هم تشکیل می شود. شروع با یک صفحه دو بعدی، مانند یک ورق کاغذ، و چسباندن لبه های آن چیزی شبیه به یک توپ توخالی است که دارای یک سوراخ دو بعدی است.

اشکال با ابعاد بالاتر می تواند دارای سوراخ های با ابعاد بالاتر باشد. به عنوان مثال ، با قیاس با سوراخ های یک و دو بعدی ، یک سوراخ سه بعدی با "بستن" یک فضای سه بعدی مانند یک مکعب شکل می گیرد. اما این فرایند فقط از دیدگاه چهار بعدی ، خارج از اکثر مردم-که هر کسی-هر کسی است-مشاهده می شود.

برخی از اشکال دارای چندین سوراخ از ابعاد مختلف ، مانند یک توپ بادی با یک دسته متصل که کودک در آن نشسته و بر روی آن قرار دارد ، دارند. مرکز توخالی توپ یک سوراخ دو بعدی است ، در حالی که دسته جامد یک سوراخ یک بعدی تشکیل می دهد. توپولوژی روشهای دقیق بسیاری برای شمارش سوراخ ها در اشکال با ابعاد بالاتر دارد-توانایی ای که به نظر می رسد در مطالعه فعالیت عصبی مغز مفید است.

دانشمند علوم اعصاب Olaf Sporns از دانشگاه ایندیانا از مغز به عنوان یک شبکه حمل و نقل گسترده فکر می کند. جاده ها و زیرساخت ها از سلولهای عصبی و سیناپسهای اتصال آنها ساخته شده است. سیگنال های الکتریکی و شیمیایی مغز در این خیابان ها حرکت می کنند. اسپورنز می گوید: "جاده های فیزیکی الگوهای ترافیکی را که می توانید به صورت پویا در بالا مشاهده کنید ، محدود می کند."با حرکت و فکر کردن ، الگوهای ترافیک تغییر می کند.

همانطور که ما در نمودار مغز قرار می گیریم ، ممکن است مانند مجموعه ای از نقاط به نظر برسد که نورون ها را نشان می دهد. برخی از آنها توسط خطوط متصل هستند و نشانگر سیناپس بین آن نورونهای خاص است. ریاضیدانان از این ساختار به عنوان نمودار یاد می کنند: مجموعه ای از گره های متصل به لبه ها. نمودار پیچیدگی بیولوژیکی مغز را صاف می کند ، اما شکل کلی مدارها را حفظ می کند. چنین معامله ای معمولی هنگام ایجاد یک مدل ریاضی است که وزن آن سادگی و تجزیه و تحلیل در برابر سودمندی است.

نمودار اتصالات عصبی یک ظروف سرباز یا مسافر است: نورونها فراوان و کاملاً در هم تنیده شده اند. در سال 2017 ، کاترین هس ، ریاضیدان در انستیتوی فدرال فدرال سوئیس در لوزان ، با انجام کاری که در ابتدا تعجب آور است با این عارضه مقابله کرد: او این نمودار را پیچیده تر کرد. وی داده های پروژه Blue Brain را ، یک شبیه سازی عظیم رایانه ای از فعالیت یک نئوکورتکس جوندگان ، بخشی از مغز که در عملکرد مرتبه بالاتر درگیر است ، تجزیه و تحلیل کرد. مدل رایانه حاوی بازنمایی از نورون های فردی است که از طریق سیناپس ها به سایر نورون های شبیه سازی شده متصل می شوند. این پیوندها ، و همچنین هنگامی که احتمالاً آتش می گیرند ، توسط اصول اساسی بیولوژیکی و داده های تجربی جوندگان آزمایشگاهی تعیین می شوند.

این شبیه سازی می تواند الگوهای ترافیکی مغز را نشان دهد - نورون ها در پاسخ به یک محرک شلیک می کنند. با این حال ، بر خلاف دید هوایی مغز واقعی ، شبیه سازی را می توان مکث کرد و به دانشمندان یک قاب یخ زد که نشان می داد سیناپس ها در پاسخ به یک محرک معین شلیک می کنند. تبدیل این تصویر استاتیک به یک نمودار آسان است زیرا نشانگر نقاط داده و همچنین خطوط بین آنها است: اگر سیناپس پیوند دهنده آنها در حال شلیک باشد ، دو نورون به هم متصل می شوند. از این تصویر ، هس چیزی را ساخت که ریاضیدانان از آن به عنوان یک مجموعه ساده یاد می کنند و نمودار ساده را به شکل حجمی تبدیل می کنند.

یک مجموعه ساده از مثلث های ابعاد مختلف ساخته شده است. به عنوان مثال ، در نمودار مغز آبی ، سه نورون با هر سه سیناپس بین آنها که سیگنال های انتقال دهنده را تشکیل می دهند ، رئوس یک مثلث توخالی را تشکیل می دهند. برای گسترش این ساختار به یک مجموعه ساده ، ریاضیدانان که در این مثلث توخالی با یک مثلث جامد و دو بعدی رنگ آمیزی شده اند. به طور مشابه ، آنها در خوشه های بزرگتر از نورونهای متصل با آنالوگ های بعدی مثلث پر شدند. به عنوان مثال ، یک چهار ضلعی ، یک هرم سه بعدی جامد با چهار چهره مثلثی ، گروهی از چهار نورون را که با هم شلیک می کنند ، پر می کند.

حداکثر تعداد نورونهایی که هس و سایرین به عنوان یک گروه مشاهده کردند ، هشت نفر بود ، بنابراین بزرگترین قطعه این مجموعه ساده یک مثلث هفت بعدی بود. بسیاری از عناصر با هم همپوشانی دارند و یک مجسمه چند بعدی تشکیل می دهند: یک مثلث ممکن است از یک چهار ضلعی خارج شود و در یک نقطه مثلث دیگری را ملاقات کند. علاوه بر این ، ریاضیدانان و دانشمندان نه تنها یک بلکه یک سری فریم های انجماد ، که پس از شبیه سازی سکته مغزی ملایم از سوت های جوندگان ، مورد بررسی قرار گرفتند. آنها هر یک از این نقشه ها را به یک مجموعه ساده تبدیل کردند و تجزیه و تحلیل کردند که چگونه شکل آن در زمان با استفاده از ابزارهای توپولوژی تغییر می کند.

بلافاصله پس از دریافت محرک ، مجتمع های ساده مانند ساخت و ساز عظیم LEGO رشد کردند و تکه هایی از ابعاد بالاتر و بالاتر را اضافه کردند تا اینکه مجسمه بسته به محرک به حداکثر سه یا چهار بعد برسد. سپس همه چیز به سرعت ناپدید شد. هس می گوید: "شما این ساختارهای به طور فزاینده ای پیچیده را دارید که توسط محرک ایجاد می شوند تا زمانی که همه فروپاشند."

برای یک توپولوژیست ، سه خط متصل به ساخت مثلث همان دایره توخالی هستند زیرا یک شکل می تواند به دیگری خم شود. از آنجا که مجتمع های ساده ای که هس و همکارانش ساخته شده از مغز جوندگان شبیه سازی شده هفت بعدی هستند ، می توانند تا هفت بعد سوراخ هایی داشته باشند. تجزیه و تحلیل آنها نشان داد که با رشد شکل ، تعداد سوراخ ها افزایش یافته است. در اوج خود ، این ساختار حاوی تعداد شگفت آور زیادی از سوراخ های دو و سه بعدی است- بسیاری بیش از یک مجموعه ساده تصادفی یا دیگری که از یک فرآیند بیولوژیکی متفاوت ساخته شده است. الگوی خاص سوراخ ها سطح بالایی از سازمان در پاسخ عصبی را نشان داد. این پیچیدگی ممکن است یک ویژگی اساسی فرآیندهای اندیشه را نشان دهد.

سوراخ های سرسخت

با این حال ، بیشتر ، داده ها توسط نقاط جدا شده شناور در یک فضای ریاضی انتزاعی ، بدون اتصالات آشکار و از پیش تعیین شده نشان داده می شوند. برای استفاده از TDA ، ریاضیدانان باید نحوه اتصال آنها را بفهمند. اما بسیاری از روش های ممکن برای پیوند ستاره ها به صورت فلکی وجود دارد. برای یافتن این تصاویر ضمنی ، ریاضیدانان از تکنیکی که به عنوان همسانی مداوم شناخته می شود استفاده می کنند. توپولوژیست ها جانشینی از مجتمع های ساده ساخته شده در مقیاس های مختلف را برای یافتن ویژگی های اساسی ابر داده ها تجزیه و تحلیل می کنند.

برای ساختن اولین مجتمع سادگی ، آنها وسیع ترین شبکه ممکن را به دست می آورند و هر نقطه را به هر نقطه دیگر متصل می کنند تا یک مش متراکم تشکیل شود. پر کردن این وب با فرم های جامد ، یک مجموعه ساده با ابعاد بالا با چند ویژگی قابل تشخیص را به همراه دارد. اما ریاضیدانان باید این مجموعه را با دیگران که با اتصال داده ها در مقیاس های کوچکتر شکل گرفته اند ، مقایسه کنند. بنابراین ، در مرحله بعد ، آنها یک شبکه باریک تر را بر روی همان داده ها قرار می دهند و فقط نقاط اطراف را به هم وصل می کنند. اکنون آنها یک وب پراکنده دارند که از آنها برای ساختن یک مجموعه ساده ساده استفاده می کنند. از آنجا که این مش حاوی نقاط داده کمتری است ، مجموعه ساده آن حاوی اشکال ابعاد پایین است. محققان این روند را با یک سری شبکه های کوچکتر تکرار می کنند. رانتونی ادموندز ، ریاضیدان در دانشگاه ایالتی اوهایو می گوید: "در هر مقیاس ، شما می خواهید عکس فوری متفاوتی از آنچه به نظر می رسد این مجموعه است."

هر مجتمع ساده یک صورت فلکی ممکن است که با همان نقاط داده پراکنده تشکیل شده است. توپولوژیست ها این طیف از اشکال را مطالعه می کنند - به ویژه تعداد سوراخ ها را در هر بعد ثبت می کنند. آنها به ویژه به سوراخ هایی که در مقیاس های مختلف باقی می مانند علاقه مند هستند. برخی از حفره‌ها به طور خلاصه ظاهر می‌شوند و سپس ناپدید می‌شوند، اما سوراخ‌های سرسخت - آن‌هایی که از طریق طیف وسیعی از مقیاس‌ها زنده می‌مانند - به ضروری‌ترین ویژگی‌های داده‌ها اشاره می‌کنند. بنابراین TDA می‌تواند یک آشفتگی پیچیده از داده‌ها را به یک لیست ساده از حفره‌های سرسخت کاهش دهد، به همان صورتی که یک فایل عکس JPEG یک تصویر را فشرده می‌کند. Ghrist می‌گوید: «این راهی برای تجزیه داده‌ها به چیزهایی است که واقعاً مهم هستند، به طوری که ما چیزی بسیار کاربردی‌تر داشته باشیم.

گاهی اوقات حفره هایی که به این ترتیب شناسایی می شوند دارای تعابیر مستقیم هستند. Jose Perea ریاضیدان از دانشگاه نورث ایسترن و تیمی از زیست شناسان محاسباتی از همسانی مداوم برای یافتن فرآیندهای زیستی دوره ای استفاده کردند - فرآیندهایی که در فواصل زمانی منظم تکرار می شوند. به عنوان مثال می توان به چرخه متابولیک مخمر یا ساعت شبانه روزی موش اشاره کرد.«عود یا تکرار چیست؟»پریا می پرسد. از نظر هندسی باید شبیه این باشد که شما در حال عبور از نوعی حلقه در فضای چیزی که به آن نگاه می کنید، هستید.

TDA همچنین به محققان در طراحی داروهای جدید کمک کرده است. این ترکیبات اغلب با تغییر ساختار مولکولی داروهای موجود یافت می شوند. اما ساختار مولکول ها حتی برای الگوریتم های یادگیری ماشینی بسیار پیچیده و دشوار است. برای طراحی داروهای جدید، کامپیوترها باید با نمایش های ساده مولکول های موجود کار کنند. راه‌های زیادی برای انجام این کار وجود دارد، اما تیمی به رهبری گووی وی از دانشگاه ایالتی میشیگان تصمیم گرفتند مولکول‌ها را به «امضای توپولوژیک» کاهش دهند. این توصیف ماده شیمیایی بر اساس ویژگی های توپولوژیکی آن است - اساساً مجموعه ای از اطلاعات به دست آمده از طریق همسانی مداوم، مانند تعداد سوراخ های سرسخت در هر بعد.

حلقه های مغزی

جالب‌ترین کاربرد TDA ممکن است در ابتدایی‌ترین سطح سازماندهی مغز باشد - یک نوع نورون. در سال 2014 جان اوکیف و شرکای تحقیقاتی می-بریت موزر و ادوارد موزر به ترتیب برای کشف سلول‌ها و سلول‌های شبکه‌ای، انواع نورون‌هایی که وقتی حیوان در مکان‌های خاص قرار می‌گیرد، فعال می‌شوند، جایزه نوبل پزشکی را دریافت کردند. کارینا کورتو، ریاضیدان دانشگاه ایالتی پنسیلوانیا، می گوید که آنها به عنوان حسگرهای موقعیت عمل می کنند.

هر سلول شبکه در مغز موش هنگامی که در چندین مکان در محیط خود قرار دارد روشن می شود. برای فهمیدن رابطه بین سلولهای شبکه و محل موش صحرایی ، دانشمندان علوم اعصاب یک سلول شبکه واحد را برای مطالعه انتخاب کردند. آنها یک نقطه را بر روی یک مدل رایانه ای از کف کشیدند و هر بار که موش فعال می شد ، نشان می داد. هنگامی که موش آزادانه در مورد جعبه مربع حرکت کرد ، یک الگوی منظم و مکرر از نقاط پدیدار شد ، از نوعی که ریاضیدانان به عنوان یک شبکه شش ضلعی توصیف می کنند. نقاط موجود در شبکه ، تمام مکانهایی را نشان می دهد که آن سلول شبکه خاص روشن شده است. آنها این فرآیند را با سلول های چند شبکه ای تکرار کردند و هر یک را با رنگ دیگری نشان دادند. نقاط مربوط به هر سلول شبکه دارای الگوی هندسی کلی یکسان بودند اما از یکدیگر جبران می شدند و جعبه را مانند کاشی کاری شلوغ پوشانده بودند.

اعتبار: جن کریستینسن ؛منبع: "توپولوژی چه چیزی می تواند در مورد کد عصبی به ما بگوید؟"توسط Carina Curto ، در بولتن انجمن ریاضی آمریکا ، جلد. 54 ، شماره 1 ؛ژانویه 2017 (مرجع)

دانشمندان علوم اعصاب می خواستند دقیقاً بدانند که سلولهای شبکه مکانهای مکانی را نشان می دهند - در اصل ، آنها به دنبال الگویی بودند که الگوی شش ضلعی را تولید می کرد. به عنوان مثال ، یک تمبر لاستیکی دایره ای را با شخصیت های مختلف کارتونی که روی آن چاپ شده است تصور کنید. همانطور که تمبر را بیرون می آورید ، یک خط ایجاد می کند. تصویر میکی ماوس در فواصل منظم در امتداد خط ظاهر می شود. اما تمام این تصاویر از همان مکان روی تمبر لاستیکی اصلی آمده اند. تصور اینکه یک تمبر را از بین ببرید آسان است ، اما سوال معکوس چالش برانگیزتر است: چگونه می توانید تمبر الگوی را از الگویی که ایجاد کرده است تولید کنید؟

در کاشی کاری نقاط رنگی که نشان دهنده محل قرارگیری موش در هنگام شلیک هر سلول شبکه ای است، چهار نقطه قرمز همسایه گوشه های یک مستطیل مایل را تشکیل می دهند که به عنوان متوازی الاضلاع شناخته می شود. درست مانند تصاویر مکرر میکی ماوس، تمام نقاط قرمز همرنگ با یک سلول شبکه مطابقت داشت. بنابراین توپولوژیست ها تمام نقاط قرمز را شناسایی کردند و متوازی الاضلاع را با استفاده از عملی که از آن به عنوان "چسباندن" یاد می کنند، به شکل دونات تا کردند. ابتدا دو طرف متضاد متوازی الاضلاع را به هم چسباندند و یک استوانه با دو نقطه قرمز تشکیل دادند: یکی در بالا و دیگری در پایین. سپس استوانه را خم کردند و دو انتهای آن را به هم چسباندند تا یک چنبره تشکیل شود. به این ترتیب چهار گوشه قرمز متوازی الاضلاع به صورت یک نقطه روی دونات تبدیل می شود. دقیقاً یک نقطه از هر رنگ دیگر روی چنبره ظاهر می شود. بنابراین، درست مانند تمبر دایره‌ای که الگوی خط کارتون‌ها بود، یک چنبره نیز نقشه درستی است که نشان می‌دهد سلول‌های شبکه چگونه کف جعبه را نشان می‌دهند.

دانشمندان علوم اعصاب زمانی که موش در حال دویدن دور یک جعبه بود، توانستند این الگو را ببینند. اما تجسم این الگو زمانی که موش در اطراف میدان های آزمایشی دیگر حرکت می کرد، مانند چرخ دوچرخه با پره ها و هاب مرکزی، سخت تر بود. هر سلول شبکه همچنان در موقعیت های مختلف شلیک می کرد، اما دانشمندان در مورد نقشه زیرین اطمینان نداشتند. چینش نقاط به وضوح ساختاری نداشت.

در مقاله طبیعت در فوریه 2022، تیمی از ریاضیدانان و دانشمندان علوم اعصاب، از جمله دان، از سلول های شبکه ای برای آزمایش نظریه ای به نام شبکه های جذب کننده پیوسته استفاده کردند، که پیش بینی می کند نورون های خاصی در یک الگوی خاص به هم متصل می شوند - و الگو تغییر نمی کند حتی اگرحیوان در وضعیت متفاوتی قرار دارد. برای آزمایش تئوری شبکه‌های جاذب پیوسته، محققان باید تعیین کنند که آیا سلول‌های شبکه همیشه یک چنبره را تشکیل می‌دهند، مهم نیست که موش در چه محیطی قرار می‌گیرد یا خیر.

این بار ، به جای اینکه موقعیت های موجود در جعبه ای را که یک سلول شبکه منفرد در آن شلیک می کند ، نشان داد ، محققان فعالیت جمعی یک شبکه کامل از سلولهای شبکه را مورد مطالعه قرار دادند. در فواصل منظم آنها وضعیت شبکه را با استفاده از رشته 0 و 1s ثبت کردند ، که نشان می داد که آیا هر سلول شبکه فعال است یا خیر. از دیدگاه یک ریاضیدان ، این رشته طولانی یک نقطه در یک فضای بسیار با ابعاد بالا است. در واقع ، همانطور که محققان وضعیت سیستم را در نمونه های مختلف ثبت کردند ، آنها در حال جمع آوری نقاط داده های با ابعاد بالا بودند. این نقاط نحوه تکامل الگوهای فعال سازی سلول شبکه را به موقع توصیف می کنند ، اما داده ها برای مطالعه با چشم غیر مسلح بسیار پیچیده هستند.

پس از استفاده از برخی از تکنیک های استاندارد برای ساده سازی داده ها ، تیم با اتصال نقاط داده در مقیاس های مختلف و بررسی مجتمع های سادگی ، همسانی مداوم سیستم را محاسبه کرد. مانند گذشته ، هنگامی که موش در حدود یک جعبه کار می کرد ، داده ها یک توروس تشکیل می دادند. اما آزمایش واقعی زمانی بود که محققان داده هایی را از موش صحرایی در اطراف یک عرصه چرخ به دست آوردند. برای خوشحالی آنها ، دوباره یک توروس شکل گرفت.

محققان حتی قادر به جمع آوری داده ها از خواب - احتمالاً رویایی - هستند. مجدداً ، آنها یک توروس پیدا کردند ، شکلی که بدون در نظر گرفتن محیط موش یا وضعیت وجود ، همچنان ادامه داشت ، یافته ای که از تئوری شبکه های جذب کننده مداوم پشتیبانی می کند. به نظر می رسد شکل دونات ذاتی در نحوه نشان دادن سلولهای شبکه فضا است.

بسیاری از این برنامه های تجزیه و تحلیل داده های توپولوژیکی فقط به دلیل ابزارهای محاسباتی قدرتمند جدید امکان پذیر است. ویدیت ناندا ، ریاضیدان در دانشگاه آکسفورد می گوید: "هیچ یک از اینها اتفاق نمی افتاد اگر مردم به طور جدی شروع به ساختن الگوریتم ها نمی کردند.""اگر مؤثر نباشد ، اگر مقیاس خوبی نداشته باشد ، هیچ کس نمی خواهد از آن استفاده کند ، مهم نیست که این تئوری چقدر زیبا باشد."

به لطف این فناوری ها ، استفاده از توپولوژی ، که تا همین اواخر به نظر می رسید بیش از یک شاخه انتزاعی ، اگر سرگرم کننده ، ریاضیات باشد ، در حال رشد است. گونار کارلسون ، ریاضیدان در دانشگاه استنفورد و یکی از پیشگامان TDA می گوید: "برنامه ها قوی تر و قوی تر می شوند.""ما واقعاً از چاسم عبور کرده ایم."

این مقاله در ابتدا با عنوان "Squishy Math" در علمی آمریکایی 327 ، 4 ، 36-41 (اکتبر 2022) منتشر شد